대역 제한 샘플링(Band-Limited Sampling) 및 앨리어싱(Aliasing)의 수학적 원리
개요: 이 애플리케이션 노트에서는 원래의 신호 정보를 잃지 않으면서 신호를 샘플링하고 복원하는 방법을 이론적으로 설명하고 앨리어싱 효과에 대해 다룬다. 또한 MAX19541 ADC를 예로 들어 입력 주파수 오버샘플링과 언더샘플링을 비교한다.
개요
오늘날의 많은 애플리케이션이 아날로그 신호를 샘플링하고, 이를 디지털 형태로 변환하고, 연산을 수행하고, 최종적으로 아날로그 신호로 복원해야 한다. 이 애플리케이션 노트에서는 원래 신호의 모든 정보를 유지하면서 아날로그 신호를 샘플링하고 복원하는 것에 대해 설명한다.
대역 제한 신호(Band-Limited Signal)
우선은 대역 제한 신호에 대해 살펴보자. 이는 뒤에서 논의하듯이 수학적이고 물리적인 이유 때문이다. 컷오프 주파수의 임계 영역을 벗어난 모든 주파수에 대해 스펙트럼의 진폭이 0이 되면 신호가 대역제한 되었다고 한다. 이러한 신호가 그림 1의 g(f)로서 a 이상의 주파수에 대해서 스펙트럼이 0인 것을 알 수 있다. 이 경우에 a 값은 이 기저대 신호의 대역폭(BW)이기도 하다(네거티브 주파수는 실제 물리적으로는 의미가 없으므로, 기저대 신호의 대역폭은 포지티브 주파수로만 정의된다).
그림 1. 신호 g(f)의 주파수 스펙트럼
다음 단계는 g(f)를 샘플링하는 것이다. 이 연산을 수학적으로는 g(f)를 간격 T로 구분된 델타 함수 열과 곱하는 것으로 표현할 수 있다. g(f)와 델타 함수를 곱함으로써, 그 델타 함수가 발생하는 순간에 해당되는 g(f) 값만을 선택할 수 있다. 이 곱이 다른 모든 시간에는 0이다. 이는 g(f)를 fSAMPLING = 1/T 주파수로 샘플링하는 것에 비유할 수 있다. 이 연산을 공식 1로 표현할 수 있으며, 샘플링된 새로운 신호를 s(t)라 한다.
다음 단계는 샘플링된 신호 s(t)의 스펙트럼을 구하는 것이다. 퓨리에 변환(Fourier transform)을 이용해 이를 구할 수 있다.
위의 적분은 계산하기가 다소 복잡하다. 이를 간소화하기 위해, s(t)가 실제로는 g(f)와 임펄스 열을 곱한 것이라는 점을 이용한다. 또한 시간 영역에서의 곱셈은 주파수 영역에서의 컨볼루션(convolution)에 해당된다(이 이론은 퓨리에 변환에 관한 어느 교재에서나 확인할 수 있다). 그러므로 S(f)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
공식 3의 별표가 곱셈이 아니라 컨볼루션이라는 점에 유의해야 한다. 원래 신호 g(f)의 스펙트럼을 알고 있으므로 임펄스 열의 퓨리에 변환만 구하면 된다. 임펄스 열은 주기 함수이므로 퓨리에 급수로 표현할 수 있다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 퓨리에 계수는 다음과 같다.
공식 5의 적분 한계는 한 주기에 대해서만 정의된다. 델타 함수를 다룰 때는 이것이 문제가 되지 않는다. 하지만 위 공식들을 더 견고하게 하기 위해서는 치환이 가능하다. 적분을 마이너스 무한대에서 무한대로의 퓨리에 적분으로 바꾸고, 주기적인 델타 함수 열을 주기 신호의 기저 함수인 단일 델타 함수로 바꿀 수 있다. 그러므로 공식 5를 다음과 같이 쓸 수 있다.
그런 다음 델타 함수 열이 다음과 같은 간소화된 공식이라고 가정하는데, 이를 편리하게 퓨리에 변환할 수 있다.
퓨리에 변환으로부터 신호를 합성할 수 있으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
또한 다음 공식을 이용함으로써,
최종적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 값을 얻은 다음에는 샘플링된 기저대 신호로 돌아간다. 이제 퓨리에 변환을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
두 신호 A(f)와 B(f)의 컨볼루션은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그러면 S(f)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
공식 13을 샘플링 정리라 하며 이것이 지금까지 작업한 결과값이다. 여기서 시간 영역에서 T초 간격의 샘플링이 초당 1/T 사이클로, 샘플링되지 않은 신호의 스펙트럼을 반복한다는 것을 알 수 있다. 그림 2는 이 결과를 그래픽으로 나타낸 것이다. 이 결과를 이용하면, 앞에서 제기되었던 '어떻게 원래 신호의 모든 정보를 유지하면서 샘플링할 것인가'라는 질문에 대한 답을 얻을 수 있다.
그림 2. 샘플링된 신호 s(t)의 주파수 스펙트럼
앨리어싱 효과
샘플링되지 않은 기저대 신호의 모든 정보를 유지하기 위해서는, 스펙트럼을 반복할 때 스펙트럼 '섬(island)'이 중첩되지 않도록 해야 한다. 그렇게 되면(이를 앨리어싱이라 함) 샘플로부터 원래 신호를 추출할 수 없다. 그림 3에서 보듯이 앨리어싱이 발생하면, 높은 주파수가 낮은 주파수로 위장하게 된다.
그림 3. 앨리어싱이 발생한 신호 다이어그램
앨리어싱을 방지하기 위해서는 다음의 조건을 충족해야 한다. 1/T ≥ 2α 또는 1/T ≥ 2BW. 따라서 샘플링 주파수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그러므로 앨리어싱을 일으키지 않으면서 샘플링하기 위한 최소한의 샘플링 주파수는 2BW이다. 이를 일반적으로 나이퀴스트(Nyquist) 기준이라고 한다.
그림 3은 샘플링한 신호에 앨리어싱이 발생한 것이다. 이로 인해 고주파 성분인 fH가 훨씬 낮은 주파수로 나타나는 것을 알 수 있다. 저역통과 필터를 이용해 원래 스펙트럼을 분리시키고, 그 외의 것을 모두 잘라내서(감쇠) 샘플링된 신호에서 신호를 복원할 수 있다. 따라서 컷오프 주파수 a의 저역통과 필터를 이용해 신호를 추출하는 것으로는 앨리어싱된 고주파를 제거할 수 없으며, 해당 신호를 훼손할 수 있다.
앨리어싱이 해당 신호를 훼손할 수 있으므로, 대역통과 신호라고 하는 특수한 유형의 대역 제한 신호를 살펴보자. 대역통과 신호의 특징은 대역폭이 하위 말단에서 0이 아니라는 것이다. 그림 4의 대역통과 신호는 신호 에너지가 주파수 αL 및 αU, and its bandwidth is defined as αU - αL로 정의된다. 그러므로 대역통과 및 기저대 신호의 가장 큰 차이점은 대역폭의 정의이다. 기저대 신호의 대역폭은 최대 주파수와 동일한 반면, 대역통과 신호의 대역폭은 상위 및 하위 경계 주파수의 차이다.
그림 4. 대역통과 신호
위에서 언급했듯이, 이 신호를 샘플링함으로써 1/T의 간격으로 스펙트럼이 반복된다. 이 스펙트럼이 0과 신호의 하위 주파수 경계 사이에 상당한 0 진폭 대역을 포함하므로, 실제 신호 대역폭이 αU보다 낮다. 따라서 주파수 영역에서 더 낮은 편이를 이용함으로써, 스펙트럼이 0에서 αU까지의 모든 주파수를 차지하는 신호에 필요한 것보다 낮은 샘플링 주파수를 이용할 수 있다. 예를 들어 신호 대역폭이 αU/2라고 하자. 나이퀴스트 기준을 충족하기 위해서는 샘플링 주파수가 αU이므로, 샘플링된 신호 스펙트럼이 그림 5와 같다.
그림 5. 샘플링된 대역통과 신호의 스펙트럼
이 샘플링은 앨리어싱을 발생시키지 않는 것을 알 수 있다. 그러므로 이상적인 대역통과 필터를 이용한다면 샘플로부터 원래 신호를 추출할 수 있다. 이 예에서는 기저대 신호와 대역통과 신호의 차이점에 유의해야 한다. 기저대 신호의 경우에는 대역폭과 샘플링 주파수가 전적으로 최대 주파수에 의해 결정된다. 대역통과 신호는 대역폭이 일반적으로 최대 주파수보다 낮다.
이러한 특성들이 샘플링된 신호의 복원 기법을 결정한다. 기저대 및 대역통과 신호의 각 최대 주파수가 동일하다고 하자. 복원 기법이 대역통과 필터를 이용하여 원래 신호 스펙트럼(그림 5의 백색 직사각형)을 분리하는 경우에만 낮은 샘플링 주파수를 통과시킨다. 기저대 복원에 이용되는 저역통과 필터는 그림 5에서 음영 부분을 포함하므로 원래 대역통과 신호를 복원하지 못한다. 따라서 그림 5에서 대역통과 신호를 복원하기 위해 저역통과 필터를 이용하면, 앨리어싱을 방지하기 위해 2αU로 샘플링해야 한다.
그러므로 대역 제한 신호는 나이퀴스트 기준을 충족해야만 샘플링하고 온전하게 복원할 수 있다. 대역통과 신호의 경우에는 대역통과 필터를 이용해 신호를 복원할 때만 나이퀴스트 기준이 앨리어싱을 방지한다. 그렇지 않으면 더 높은 샘플링 주파수가 필요하다. 이 점은 컨버터의 샘플링 주파수를 선택할 때 중요한 사항이다.
마지막으로 살펴볼 것은 앞서 언급했던 대역 제한 신호에 대한 가정이다. 수학적으로 신호는 진정으로 대역 제한일 수 없다. 퓨리에 변환 법칙에 따르면 신호가 시간 영역에서 유한하면 스펙트럼이 무한 주파수로 확장되며, 대역폭이 유한하면 시간 영역에서 지속시간이 무한하다. 무한 지속시간의 시간 영역 신호는 불가능하므로 진정으로 대역 제한적인 신호는 불가능하다. 하지만 대다수 실제 신호는 대부분의 에너지가 스펙트럼의 일정한 부분에 집중된다. 그러한 신호에 위의 분석이 유효하다.
정현파 신호 샘플링(Sampling Sinusoidal Signal)
앨리어싱은 고주파를 저주파로 속이는 쉽고 간편한 방법이 뒤따르는데 정현파를 샘플링하는 것에 행해진다. 이는 순수한 정현파 신호 스펙트럼이 해당 주파수의 스파이크(델타 함수)로만 구성되기 때문이다. 그러므로 순수 톤의 앨리어싱이 한 위치에서 다른 위치로 이동하는 스파이크로 보여진다. 이 다른 위치를 이미지라 하며 이것이 실제로는 앨리어싱된 신호이다.
아래의 결과는 MAX19541 125Msps 12비트 ADC를 이용한 것이다. 그림 6은 입력 주파수 fIN = 11.5284MHz일 때 이 컨버터 출력의 스펙트럼이다. 정확히 이 주파수에서 메인 스파이크가 발생하는 것을 알 수 있다. 그 외의 스파이크는 컨버터의 비선형성으로 인해 발생된 것이고 여기에서는 논외로 하였다. 샘플링 주파수 fSAMPLING = 125MHz가 나이퀴스트 기준에 의해 필요한 입력 주파수의 두 배 이상이므로 앨리어싱이 발생하지 않는다.
그림 6. MAX19541 ADC로 샘플링한 신호의 스펙트럼. 여기서는 fSAMPLING = 125MHz, fIN = 11.5284MHz이다.
그렇다면 입력 주파수를 fIN = 183.4856MHz로 높이면 메인 스파이크 위치가 어떻게 될 것인가? 이 입력 주파수는 fSAMPLING/2보다 높으므로 앨리어싱이 발생할 것으로 예상할 수 있다. 그림 7의 결과 스펙트럼에서는 58.48MHz에 메인스파이크가 나타나 있는데, 이것이 앨리어싱된 신호라는 것을 알 수 있다. 다시 말해서 58.48MHz에서 이미지가 나타났으나, 실제로는 입력 신호가 이 주파수를 포함하지 않았다. 그림 6과 그림 7에서는 나이퀴스트 주파수까지만 스펙트럼을 표시했다. 스펙트럼이 주기적이고 이 부분이 모든 필요한 정보를 포함하기 때문이다.
그림 7. MAX19541 ADC를 이용해 샘플링한 신호의 스펙트럼. 여기서는 fSAMPLING = 125MHz, fIN = 183.4856MHz이다.
이 애플리케이션 노트와 유사한 기사가 RF Design 2005년 1월 호에 게재되었다.
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