개요: RF 증폭기는 약한 신호의 진폭을 증가시키는 능동 회로망으로써 수신기로 하여금 이후의 신호 처리를 가능하게 해준다. 수신기 증폭은 시스템의 RF 및 IF 단 사이에 배분되어 있으며, 이상적인 증폭기는 신호 왜곡 또는 잡음을 추가적으로 발생시키지 않고 원하는 신호 진폭을 증가시켜준다. 그러나 증폭기는 특성상 원하는 신호에 잡음과 왜곡을 증가시키는 것으로 알려져 있다. 수신 경로의 경우 안테나 이후 첫 번째 증폭기가 시스템 잡음 지수에 가장 많은 영향을 준다. 잡음이 있는 회로망 앞의 이득을 증가시키면 이 회로망에서 발생하는 잡음의 영향을 줄일 수 있다.
회로 잡음의 영향을 분석하기 위해서는 잡음이 있는 회로를 잡음이 없는 회로와 외부잡음 소스를 더한 것으로 모델링하면 된다. 내부 잡음 소스가 있고 잡음이 발생하는 2단자 회로망에 대하여(그림 1a), 이러한 소스들의 영향은 외부 잡음 전압 소스 Vn1 및 Vn2가 각각 입력 및 출력 단자에 직렬로 연결되어 있는 형태로 표시된다(그림 1b). 이 소스들은 내부 잡음 소스와 동일한 잡음 전압을 회로 단자에서 생성해야 한다. Vn1과 Vn2의 값은 식 1 및 2로 계산한다. 그림 1b의 잡음이 없는 2단자 회로망을 Z 파라미터로 나타내면 다음과 같다.
그리고
식 1 및 2를 보면 Vn1 및 Vn2의 값은 잡음이 있는 2단자 회로망에서 회로 개방 측정을 통해 결정된다는 것을 알 수 있다. 또한 이 식들로부터 입력 및 출력 단자가 개방될 때 (I1 = I2 = 0) 식 3 및 4와 동일하다는 것도 알 수 있다.
그리고
바꿔 말하면, Vn1 및 Vn2는 각 해당 회로 개방 전압과 동일하다고 할 수 있다.
그림 1. 잡음이 있는 2단자 회로망(a)는 외부 잡음 전압 소스 Vn1 및 Vn2가 포함된 잡음이 전혀 없는 2단자 회로망(b)으로 모델링할 수 있다.
잡음이 있는 2단자 회로망의 다른 표현식(그림 2)에서 외부 소스는 전류 잡음 소스 In1과 In2이다. 식 5 및 6은 잡음이 없는 2단자 회로망의 표현식을 나타낸다.
그리고
그림 2의 In1과 In2의 값은 식 7 및 8에서와 같이 잡음이 있는 2단자 회로망에서의 회로 단락 측정을 통해 얻어진다.
그림 2. 잡음이 있는 2단자 회로망은 외부 잡음 전류 소스 In1 및 In2가 포함된 잡음이 전혀 없는 2단자 회로망으로 모델링할 수 있다.
그리고
그림 1b 및 2에 표시된 식 이외의 다른 표현식은 잡음이 있는 2단자 회로망으로부터 유도할 수 있다. 다음의 편리한 잡음 분석 표현식에서는 잡음 소스를 회로망의 입력에 위치시킨다(그림 3).
그림 3. 잡음이 있는 2단자 회로망은 입력에 외부 잡음 소스 Vn 및 In이 포함된 잡음이 전혀 없는 2단자 회로망으로 표현 가능하다.
그림 3의 잡음이 없는 2단자 회로망을 식 9 및 10의 ABCD 파라미터로 나타내면 다음과 같다.
그리고
식 9 및 10을 보면 회로 개방 및 회로 단락의 측정 방법으로는 그림 3의 회로에서 Vn 및 In을 평가할 수 있는 간단한 방법이 없다는 것을 알 수 있다. 실제로, 이러한 값들(Vn 및 In)은 그림 1b에서 잡음 전압 Vn1 및 Vn2로 나타낼 수 있다(회로 개방 측정만 필요하다).
그림 3의 잡음 소스 Vn 및 In 간의 관계 및 그림 1b에서의 잡음 소스 Vn1 및 Vn2 간의 관계를 아래에 유도하였다. 잡음이 없는 2단자 회로망(그림 3)를 나타내기 위해 Z 파라미터를 쓰면 다음과 같다.
그리고
식 1, 2를 식 11, 12와 비교하면 다음과 같다.
그리고
따라서 식 13 및 14를 Vn 및 In에 대해 풀면 다음과 같다.
그리고
Vn과 In을 결정하는 또 다른 방법으로는 이 값들을 그림 2의 잡음 소스 In1 및 In2에 관련하여 푸는 것이다. 이 경우, 다음과 같이 쉽게 관계식을 나타낼 수 있다.
그리고
잡음이 있는 2단자 회로망에 연결되어 있는 소스(그림 4)는 어드미턴스가 Ys인 전류 소스로 표현된다. 소스에서 발생하는 잡음은 회로망에서 발생하는 잡음과 상관 관계가 없는 것으로 가정한다. 따라서, 잡음 출력은 잡음이 없는 증폭기의 입력 단자에서 단락 시 전류의 평균 제곱 (액티브 로우 Isc²로 표기)에 비례한다. 오직 소스로 인해 발생하는 잡음 출력은 소스 전류의 평균 제곱(액티브 로우 Isc²)에 비례한다. 따라서 잡음 지수 F는 다음의 식과 같다.
그림 4. 이 잡음 모델을 사용하면 증폭기 잡음 지수를 계산할 수 있다.
Isc = -Is + In +VnYs, 이므로, Isc의 평균 제곱은 식 20과 같다.
소스에서 발생하는 잡음과 2단자 회로망에서 발생하는 잡음이 서로 상관 관계가 없으므로,
그리고 식 20을 줄여 표현하면,
식 20을 식 19에 대입하면,
이 된다.
외부 소스 Vn 및 In 간에는 약간의 상관 관계가 있다. 따라서, In은 Vn과 상관관계를 갖지 않는 항(Inu)과 상관 관계가 있는 항(Inc)의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서,
가 된다.
또한 상관 어드미턴스 Yc에 대한 Inc와 Vn 간의 관계는 다음과 같이 정의된다.
Yc는 회로상의 실제 어드미턴스가 아니다. 이 값은 식 25에 의해 정의되고 다음과 같이 계산된다. 식 24로부터
식 26에 Vn*을 곱하고 평균을 구한 후 임을 주목하면,
식 26을 식 23에 대입하면 다음과 같이 F에 대한 식을 얻을 수 있다.
소스에 의해 생성되는 잡음은 다음의 식에 의해 소스 컨덕턴스에 관련되어 있다.
여기서 Gs = Re[Ys]이다. 잡음 전압은 등가 잡음 저항 Rn에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
상관 관계가 없는 잡음 전류는 등가 잡음 컨덕턴스 Gu에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
식 29, 30, 31을 식 28에 대입하면,
이 된다.
Ys를 적절히 선택하면 잡음 인자를 최소화할 수 있다. 식 34로부터 다음과 같이 설정함으로써 F를 감소시킨다.
따라서 식 34로부터
다음과 같이 설정하면 식 34의 표현식의 Gs에 대한 의존도를 최소화할 수 있다.
이렇게 되면,
Gs에 대해 풀면 다음과 같다.
식 39 및 식 35의 Gs 및 Bs의 값으로부터 소스 어드미턴스를 알 수 있는데, 이 값으로 잡음 지수를 최소(최적값)로 할 수 있다. 이 최적 소스 어드미턴스 값은 보통 Yopt = Gopt + jBopt로 표시된다.
식 36으로부터, 최소 잡음 지수 Fmin은 다음과 같다.
식 39를 Gu/Gopt에 대해 풀고 식 41에 대입하면 다음과 같다.
식 42를 이용하면 식 34는 다음과 같이 표현된다.
식 39를 Gu에 대해 풀고 식 41에 대입하면 F를 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
식 44를 보면 F의 값이 Yopt = Gopt + jBopt 및 Fmin에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다. 이 값이 정해지면 모든 소스 어드미턴스 Ys에 대해 잡음 지수 F의 값을 구할 수 있다. 또 이 식을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
여기서 rn = Rn/Zo 는 표준 잡음 저항이며, ys = YsZo는 표준 소스 어드미턴스이다.
yopt는 최적 소스 어드미턴스의 표준 값이다.
어드미턴스 ys 및 yopt는 반사 계수의 식으로 나타낼 수 있다.
ys 및 yopt를 반사 계수로 표현하면 잡음 지수(식 45)를 반사 계수의 함수로 공식화할 수 있다. 산업용 LNA 애플리케이션의 경우 이 공식이 더 편리한데, 왜냐하면 대부분의 데이터시트에서 LNA 특성이 S 파라미터 및 최적 반사 계수 Gopt 대 주파수의 표로 제공되고 있기 때문이다.
잡음 지수가 원의 함수로 표현되면, 이 값을 스미스 차트와 함께 사용하여 특정 애플리케이션에 맞는 최적의 잡음 지수를 찾아낼 수 있다.
LNA 입력 정합에 대해 잡음 원은 스미스 차트에 다음과 같이 나타난다.
식 51 및 52에서 스미스 차트에 잡음 원을 작성하면 LNA의 잡음 성능을 최적화할 수 있다. 이러한 기법을 통해 설계 엔지니어는 실질적인 잡음 성능을 예측하기 위한 튜닝의 효과를 알 수 있다.
최적의 잡음 지수를 위한 설계 기법
2단자 회로망의 경우, 잡음 지수는 회로망을 통해 전송된 신호에 추가되는 잡음의 양을 나타낸다. 실제 회로의 경우, 회로 출력의 SNR(신호 대 잡음 비)는 입력의 SNR보다 좋지 않다(작다). 그러나 대부분의 회로 설계에서 각 2단자 회로망의 잡음 비율은 동작 포인트와 소스 저항을 올바르게 선택할 경우 최소화할 수가 있다.
앞에서는 각각의 LNA(실제로는 모든 2단자 회로망)에 대해 최적의 잡음 지수가 존재한다는 사실을 보였다. LNA 제조업체들은 데이터시트 상에 최적 소스 저항의 값을 표시하거나 또는 최적 소스 반사 계수를 MAX2656 및 기타 LNA 데이터시트 등에서 표시하기도 한다.
잡음 지수가 최소인 증폭기를 설계하기 위해서는 (실험을 통해서 또는 데이터시트를 이용해서) 해당 소자에 대해 최소의 잡음 지수를 발생시키도록 하는 소스 저항 및 바이어스 포인트를 구해야 한다. 그리고 나서 모든 안정도 관련 사항을 충분히 고려하여 실제의 소스 임피던스를 "최적값인 것처럼 보이도록" 해야 한다. Rollet 안정도 계수 (K)가 1 이하로 계산되는 경우(K는 LNA 안정도의 척도로서 정의된다), 소스와 부하의 반사 계수 선택에 주의해야 한다. 불안정한 영역을 정확하게 파악하려면 안정도 원을 작도해 보는 것이 최선의 방법이다.
LNA에 최적의 소스 임피던스를 적용한 후에는 LNA 출력을 적절히 종단하기 위해 필요한 최적의 부하 반사 계수(ΓL)을 구한다.
여기서 Γs는 최소의 잡음 지수를 얻기 위해 필요한 소스 반사 계수이다(위 식에 사용된 * 표시는 복소수 ΓL의 공액복소수임을 나타낸다).
애플리케이션
LNA에 대한 최적 잡음 정합 이론을 실제 증명할 수 있는 실례가 MAX2656이다. 이 소자는(그림 5) 높은 3차 가변 인터셉트 포인트(IP3) 성능을 갖고 있다. 로직 제어를 통해 이득을 설정할 수 있는(고 이득 모드 14.5dB, 저 이득 모드 0.8dB) PCS 단말기 애플리케이션용으로 설계된 이 증폭기는 최적 잡음 지수 성능이 1.9dB이다(이 값은 바이어스 저항 RBIAS의 값에 따라 달라진다). MAX2655/MAX2656 IP3는 하나의 외부 바이어스 저항(RBIAS)에 의해 조정되기 때문에 특정 애플리케이션에 대한 소비전류를 최적화할 수 있다.
그림 5. 전형적인 MAX2656 LNA에 관한 동작 회로로 입력 정합 회로망에 대한 설계치를 나타내었다.
그림 5의 애플리케이션은 1960MHz의 PCS 주파수에서 2dB의 잡음 지수로 동작하는(설계 요건임) MAX2656 LNA를 채용하고 있다. 이 소자는 50Ω 종단된 단자 사이에서 동작해야 한다. MAX2656 데이터시트에 규정되어 있는 바와 같이, 최소의 잡음 지수를 위한 최적 바이어스 저항(RBIAS)은 715Ω이다. 1960MHz 애플리케이션에서 최소의 잡음 지수(FMIN = 1.79dB)를 위한 최적의 소스 반사 계수 ΓOPT는 다음과 같다.
잡음 등가 저항이 있는 소스 임피던스 RN = 43.2336Ω으로 최소의 잡음 지수를 나타낸다.
1960MHz로 동작하는 MAX2656 LNA는 다음의 S 파라미터를 갖는다(단위는 크기/각).
계산된 안정도 계수(K = 2.684)는 절대적 안정도를 나타내므로 설계를 계속할 수 있다. 그림 5에는 입력 정합 회로망을 위한 설계값이 표시되어 있다. 먼저, 입력 정합에 대한 스미스 차트에는(파란색) 설계에 필요한 2dB의 상수값 잡음 원이 표시되어 있다(그림 6). 비교할 수 있도록 잡음 지수 2.5dB, 3dB, 3.5dB에 대한 상수값 잡음 원을 점선으로 표시했다.
큰 이미지 보기 그림 6. 스미스 차트에 실선으로 표시된 원은 입력 정합된 MAX2656 PCS LNA에 대하여 원하는 (최적의) 2dB 잡음 지수를 보여준다.
편의상 2dB 상수 잡음 원에 대해서 ΓS = 0.3/150°의 소스 반사 계수를 선택했다. 표준 50Ω의 소스 저항은 다음의 두 가지 요소를 사용하여 ΓS로 변환한다. 호 ΓSA(임피던스 차트에서 시계방향)는 직렬 인덕턴스 L1의 값을 나타낸다. 호 BO(어드미턴스 차트의 시계방향)는 병렬 커패시터 C1의 값을 나타낸다.
이 그림에서 측정된 ΓSA의 값은 0.3단위이므로, Z = 50 x 0.3 = 15Ω이다. 따라서 L1 = 15/ω = 15/(2πf) =
15/[2π x (1.96 x109)] = 1.218nH이고, 이를 반올림하면 1.2nH이다. 도표 상에서 측정한 호 BO의 길이는 0.9단위로, 따라서 1/Y = Z = 50/0.9 = 55.55Ω이다. 그러므로 C2 = 1/(55.55 x ω) =
1/(55.55 x 2πf) = 1/[55.55 x 2π x (1.96 x 109)] = 1.46pF이고, 이를 반올림하면 1.5pF이다.
C1은 단지 높은 값의 DC 차단용 커패시터이므로 입력 정합에 영향을 주지 않는다. 선택된 ΓS는 LNA의 적절한 종단에 필요한 부하 반사 계수를 제공한다.
이 값과 표준 부하 저항 값이 그림 7에 표시되어 있다. 이 그림을 보면 50Ω 부하를 ΓL로 변환하기 위해 가능한 방법도 알 수 있다. 이 예제에서 하나의 직렬 커패시터가 필요한 임피던스 변환을 제공한다는 점을 유의해야 한다.
큰 이미지 보기 그림 7. MAX2656 PCS LNA에는 원하는 (최적의) 2dB 잡음 지수에 대한 출력 정합 기능이 있다.
호 OΓL(임피던스 차트에서 반시계 방향)은 직렬 커패시터 C3의 값을 제공한다. 이 그림에서 측정된 호 OΓL의 값은 0.45단위이므로 Z = 50 x 0.45 = 22.5Ω이다. 그러므로 C3 = 1/(22.5 x ω) = 1/(22.5 x 2πf) = 1/[22.5
x 2π x (1.96 x 109)] = 3.608pF로서, 이를 반올림하면 3.6pF이다.
결론
이와 같은 계산식을 통해 그림 5의 LNA에서 최적의 잡음 성능을 얻는데 필요한 정합 부품의 값을 구할 수 있었다. 물론 최적의 잡음 성능이 필수 요소가 아닌 저가형 애플리케이션에서는 C3를 생략하고 MAX2656을 직접 50Ω 시스템에 연결해도 무방하다.
참고 자료
Gonzalez, Guillermo; Microwave Transistor Amplifiers, Analysis & Design; Second Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458.
Bowick, Chris; RF Circuit Designs; Howard W. Sams & Co. Inc., a publishing subsidiary of ITT.
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임을 주목하면, 
